Come prevedere il tasso di disoccupazione

Introduzione

Negli ultimi decenni in ambito economico è molto in voga l’adozione di modelli fisici applicati alle variabili reali e finanziari per la previsione del loro movimento lungo un determinato orizzonte temporale di riferimento. In questo articolo si è cercato di dimostrare l’efficienza di modelli a diffusione stocastica per la previsione del tasso di disoccupazione in Eurolandia, applicando il modello CIR e Vasicek alla serie dei dati sulla disoccupazione con l’intento di prevedere il valore atteso dello stesso in un orizzonte temporale di un anno. Il periodo sul quale si è condotta l’analisi copre un orizzonte di circa 15 anni, con precisione dal Gennaio del ’95 al Dicembre del 2010, con la possibilità di poter proiettare nel 2011 la previsione sul potenziale valore del Tasso di disoccupazione atteso in Europa.

È stato pensato di selezionare come variabile oggetto di studio il Tasso di Disoccupazione, poiché è risultato essere un processo Mean Reverting, ovvero che si muove intorno ad un valore medio di lungo periodo, tipico dei processi a diffusione stocastica adottati in fisica o in Finanza ad esempio per la stima del tasso di interesse a breve termine. Partendo da questo presupposto si è preferito adottare un modello di stima dei parametri con tecniche OLS non lineari in maniera tale da poterli poi adattare ai modelli CIR e Vasicek adottati in questo studio.

Il modello di Cox-Ingersoll-Ross (da ora CIR) qui proposto è basato su equazioni differenziali stocastiche del tipo:

drt = k(μ − rt)dt + σdWt,

dove il valore K rappresenta la velocità di aggiustamento della serie storica che converge verso il valore medio di lungo periodo, μ è il tasso medio di lungo periodo (mean reverting level), σ è la volatilità implicita, mentre r è il tasso di disoccupazione presente sul mercato del lavoro al momento della stima dei parametri. Quanto previsto dal modello CIR, sia k che μ vengono previsti in questo caso positivi.

Il modello di Vasicek anch’esso un modello mean reverting risulta invece diverso rispetto al modello presentato in precedente per alcune motivazioni:

dr = k (μ − r)dt + σdWt

Non presenta un valore della standard deviation riscalata per la radice quadrata del tasso r.
In alcuni casi, è possibile ammettere anche tassi di disoccupazione negativi non ammissibile nel modello CIR.

Il fattore k (μ − r) dt è inteso come il processo mean reverting, mentre σ viene definito come la volatilità storica presente nella serie dati. Qualora il valore r dovesse assumere termini maggiori rispetto al μ, si potrebbe attendere una correzione del tasso di disoccupazione verso il valore di lungo periodo con un’attesa di riduzione del Tasso u di disoccupazione. Se il tasso r dovesse invece risultare minore di μ, ci sarebbero spazi per una correzione al rialzo del tasso tale da portarlo verso il valore di lungo periodo μ. La velocità di aggiustamento rappresenta il periodo necessario alla serie storica per convergere verso il valore d’equilibrio di lungo termine. Se ad esempio il valore k fosse 0.2, ci si attenderebbe che il gap tra il valore medio e quello di mercato venga chiuso nell’orizzonte temporale di un anno e che il tasso stesso possa ridursi del 20% nello stesso periodo di tempo considerato.

Stima dei parametri dei modelli CIR- Vasicek

Per semplicità ed adattabilità ai modelli OLS si è preferito sostituire ai valori k e μ i parametri a e b da applicare al modello di regressione per la stima OLS.

Tabella 1 Stima dei parametri con modello OLS


Dataset Jan-95 / Dec 10	CIR Model	Vasicek Model
N° Obs	192	192
Correlation	0,9975	0,9975
R2	0,9949	0,9949
Alpha	0,0057	0,0056
Beta	8,7351	8,7208
Sigma	0,0008281	0,00051
mean (Series)	9,24%	9,24%
st.dev(Series)	1,165	1,165
Min	7,3	7,3
Max	10,76	10,76

Da quanto è emerso dallo studio si è appreso che in realtà il movimento del tasso di Disoccupazione (u) nell’area Euro negli anni 1995-2010 è risultato essere un processo mean reverting che oscilla intorno ad un valore centrale definibile come valore medio di lungo periodo pari a 9.24%.

Nei grafici mostrati sopra, è possibile notare come il modello stocastico venga replicato perfettamente dalle derivazioni CIR e Vasicek nel corso dell’intera lunghezza della serie storica lasciando intendere la piena efficienza dei modelli nonché il notevole contributo predittivo.

Il grafico 4 riflette l’andamento che la serie dei rendimenti logaritmici riferito al Tasso di Disoccupazione assume nel periodo analizzato rispetto al suo valore medio. L’andamento, prevalentemente ciclico e stabile intorno al valore medio, si è attestato dal 1995 al 2007 sempre nella fascia [0.04 –0.04] per poi distaccarsi da questa banda creatasi nel decennio precedente, diventando nello stesso molto ascendente, raggiungendo il picco dello 0.12 inasprendosi rispetto ai valori medi assunti in precedenza, dovuto alla Crisi di Liquidità che ha colpito il mercato finanziario globale in contemporanea rispetto al mercato reale. Nella parte compresa quindi dal 2007 al 2009 sembra esserci stata una riflessione negativa tale da creare un innalzamento della volatilità del modello rispetto agli standard assunti, che si è poi placata nel biennio immediatamente prossimo. La serie storica, dopo essere rientrata nella normale banda di oscillazione, è regredita verso il floor [-0.04] grazie anche alle politiche del lavoro adottate dalle Istituzioni in quegli anni, che hanno risollevato il problema dell’occupazione Europea tutt’oggi presente.

Dal grafico della distribuzione di frequenza riportato in cima, si nota immediatamente la distribuzione asimmetrica dei valori Log Rendimenti del tasso di Disoccupazione Euro-17 verso la parte destra del grafico. In effetti, considerando le statistiche descrittive del modello, è emerso che la media, -0,00032217, la standard deviation, 0,0081007, l’asimmetria, 1,5575 e la Curtosi, 4,3324 sono tipiche di una distribuzione non Normale come appunto è risultata essere la serie impiegata in questo studio. Tale comportamento assunto dalla distribuzione di frequenza della serie storica riflette il comportamento stazionario nella prima parte della serie dei dati, per poi distaccarsi rispetto alla “Normalità” nella parte finale del grafico sicuramente a seguito del superamento della boundary superiore nel periodo 2008-2009.

Considerazioni sul Modello CIR

Il modello di stima Mean Reverting presentato inizialmente sotto l’acronimo CIR, in questo esercizio ha fornito dei valori tali da poter appoggiarne l’importanza del modello soprattutto da un punto di vista previsionale per futuri livelli di Tasso di Disoccupazione. Infatti la serie storica, pur essendo al tempo della stesura dell’articolo, terminante nel Dicembre del 2010, in realtà è possibile considerare i valori attuali del tasso di disoccupazione dell’anno 2011 per porli a confronto con il quanto messo a disposizione dal modello di stima CIR.

Con una velocità di aggiustamento K = 0.0057, un valore di Media µ = 8.7351 ed un σ =0.0008281 si è ottenuta la seguente equazione differenziale stocastica:

dr=0.0057*(8.7351-10.02)dt + (dWt)

con Wt che può essere paragonato ad un’estrazione di numeri casuali compresi tra 0-1 e per convenzione si è assunto 0.05 come valore di Wt. Il valore di u=10.02 è il valore assunto dal tasso di disoccupazione nel mese di Dicembre 2010 mentre dt=1.

Il valore finale del dr è risultato essere pari a -0.0059.

Nella specificazione a tempo discreto la differenza tra r con r-1 risulta essere pari a -0.005952.

Dove 10.02 è il valore del tasso di disoccupazione nel mese di Dicembre 2010 rispetto al mese precedente di Novembre.

Considerazioni sul modello Vasicek

Il modello Vasicek rispetto al modello CIR, come detto sopra, non si avvale di una funzione riscalata della Standard Deviation, cosicché l’equazione differenziale stocastica restituirà un valore leggermente diverso rispetto a quanto fatto dal modello precedente.

Avremo che:

dr =0.0056*(8.7208-10.02)dt+0.0051dWt

dove si considera ancora una volta dt=1 mentre Wt come estrazione di numeri casuali pari a Wt = 0.05

Il valore restituito dal processo diffusivo è stato pari a:

dr = -0.00702052

rispetto ad un valore, nel tempo discreto di -0.005952.

Previsione del tasso di Disoccupazione EURO-17 per l’anno 2011.

Prendendo in considerazione l’evoluzione del tasso di Disoccupazione negli ultimi mesi del 2010, stimato intorno al 10% circa, sapendo che la velocità con la quale lo stesso ritornerà verso un valore medio entro un anno è possibile, in maniera previsiva, poter affermare che il tasso di disoccupazione potrà attestarsi entro la fine del 2011 intorno al 9.96%. Quanto detto, è dimostrabile impostando il ragionamento in questi termini:

La velocità di aggiustamento pari allo 0.56% per il modello di Vasicek permetterà di dire che il tasso di disoccupazione del 10.02% del mese di Dicembre si ridurrà dello 0.56% entro il 2011 convergendo verso un livello del 9.964%.

Per il modello CIR la velocità di aggiustamento dello 0.57% permetterà al tasso u (Euro17) di tendere verso valori del 9.96288% .

Dataset	CIR Model	Vasicek Model
K Ratio	0.57%	0.56%
Ur (Expected)	9,96288%	9,96400%
Ur (Mean2011)	9,93400%	9,93400%
∆ (Ur)	0.0288%	0.03%

Considerazioni Conclusive

Quanto è emerso dall’indagine condotta con entrambi i modelli, si è acclarato che il modello più conforme alla realtà sembra essere il CIR, dovuto anche all’impiego della Volatilità riscalata rispetto al caso Vasicek dove la si considera in maniera integrale che permette di rendere omogenea la serie dei risultati conseguiti.

La calibrazione del modello Cox Ingersoll Ross sembra essersi avvicinata maggiormente anche dal punto di vista della previsione condotta ex-post sui dati occupazionali dell’area Euro rispetto al modello Vasicek con un errore di pochi decimali rispetto al secondo modello adottato.

Da un punto di vista critico, potrebbe invece essere levato un monito ai modelli impiegati, visto che a volte non sempre è possibile stimarli, se non per serie cicliche o, come è più conforme definirli, Mean Reverting.

Referencies

E. Barone, D. Cuoco, E. Zautzik. La struttura dei rendimenti per scadenza secondo il modello CIR: una verifica empirica. Banca d’Italia, Temi di discussione, n.128,